Teorema lui Pitagora — enunț, reciprocă și aplicații

Teorema lui Pitagora explicată simplu: enunțul, formula, reciproca și triplete pitagoreice, cu probleme rezolvate pas cu pas pentru clasa a VII-a.

Teorema lui Pitagora

Într-un triunghi dreptunghic (cu un unghi de 90°), latura opusă unghiului drept se numește ipotenuză, iar celelalte două catete. Teorema lui Pitagora:

ipotenuza² = cateta₁² + cateta₂²

Exemplu: catetele 3 și 4 → ipotenuza² = 9 + 16 = 25 → ipotenuza = 5.

a² + b² = c²: aria pătratului construit pe ipotenuză este egală cu suma ariilor pătratelor construite pe catete.

Cele două calcule tipice

Afli ipotenuza: ip = √(c₁² + c₂²). Catetele 6 și 8: ip = √(36 + 64) = √100 = 10.
Afli o catetă: c = √(ip² − c₂²). Ipotenuza 13, cateta 12: c = √(169 − 144) = √25 = 5.

Triplete pitagoreice de recunoscut din prima: (3, 4, 5), (5, 12, 13), (8, 15, 17), (7, 24, 25) — și multiplii lor: (6, 8, 10), (9, 12, 15), (10, 24, 26).

Reciproca teoremei

Dacă a² = b² + c² (a fiind latura cea mai mare), triunghiul este dreptunghic cu unghiul drept opus laturii a.

Exemplu: triunghiul cu laturile 9, 12, 15 este dreptunghic, pentru că 15² = 225 = 81 + 144. Triunghiul cu laturile 4, 5, 6 nu este: 36 ≠ 16 + 25 = 41.

Aplicații standard (de știut pe de rost)

Figura	Rezultatul
Diagonala pătratului de latură l	d = l√2
Înălțimea triunghiului echilateral de latură l	h = l√3/2
Diagonala dreptunghiului cu laturile L, l	d = √(L² + l²)

Problemă rezolvată (tip examen)

O scară de 5 m este sprijinită de un perete, cu piciorul la 3 m de perete. La ce înălțime ajunge scara?

Scara e ipotenuza, distanța de la perete o catetă: h² = 5² − 3² = 25 − 9 = 16 → h = 4 m.

Problemă cu diagonala

Un teren dreptunghiular are 40 m și 30 m. Cât economisești mergând pe diagonală față de mersul pe două laturi?

Diagonala: √(1600 + 900) = √2500 = 50 m. Pe laturi: 40 + 30 = 70 m. Economisești 20 m.

Greșeli frecvente

Aplicarea teoremei într-un triunghi care nu e dreptunghic — verifică întâi unghiul drept.
Confundarea ipotenuzei cu o catetă: ipotenuza e mereu latura cea mai lungă, opusă unghiului drept.
Uitarea radicalului la final: din c² = 16 rezultă c = 4, nu c = 16.

Întrebări frecvente

Ce spune teorema lui Pitagora?

Într-un triunghi dreptunghic, pătratul ipotenuzei este egal cu suma pătratelor catetelor: ip² = c₁² + c₂². Este valabilă doar în triunghiuri dreptunghice.

Cum aflu o catetă dacă știu ipotenuza și cealaltă catetă?

Din formula rearanjată: c₁² = ip² − c₂². Exemplu: ipotenuza 13 și o catetă 5 → cealaltă catetă = √(169 − 25) = √144 = 12.

Ce spune reciproca teoremei lui Pitagora?

Dacă într-un triunghi pătratul laturii celei mai mari este egal cu suma pătratelor celorlalte două, triunghiul este dreptunghic. Așa verifici dacă un triunghi are unghi drept.

Ce sunt tripletele pitagoreice?

Trei numere naturale care verifică teorema: (3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13), (8, 15, 17). Apar des în probleme — le recunoști și scutești calcule.