Triunghiul — clasificare, unghiuri și linii importante
Triunghiul — lecție completă
Triunghiul este poligonul cu trei laturi. Elementele triunghiului ABC: vârfurile A, B, C, laturile AB, BC, CA și unghiurile ∠A, ∠B, ∠C.
Suma unghiurilor
În orice triunghi, ∠A + ∠B + ∠C = 180°.
Exemplu: dacă ∠A = 65° și ∠B = 48°, atunci ∠C = 180° − 65° − 48° = 67°.
Unghiul exterior unui triunghi este egal cu suma celor două unghiuri interioare neadiacente lui.
Clasificarea triunghiurilor
| După laturi | Proprietate | După unghiuri | Proprietate |
|---|---|---|---|
| Scalen | laturi de lungimi diferite | Ascuțitunghic | toate unghiurile ascuțite |
| Isoscel | două laturi congruente | Dreptunghic | un unghi de 90° |
| Echilateral | toate laturile congruente | Obtuzunghic | un unghi obtuz |
- Isoscel: unghiurile de la bază sunt congruente.
- Echilateral: toate unghiurile au 60°.
- Dreptunghic: unghiurile ascuțite sunt complementare (suma 90°); latura opusă unghiului drept este ipotenuza, celelalte sunt catete.
Inegalitatea triunghiului
Orice latură este mai mică decât suma celorlalte două: laturile 3, 4, 8 nu pot forma un triunghi (3 + 4 < 8).
Liniile importante în triunghi
| Linia | Definiție | Punct de intersecție |
|---|---|---|
| Mediana | unește un vârf cu mijlocul laturii opuse | centrul de greutate G (la 2/3 de vârf) |
| Bisectoarea | împarte unghiul în două unghiuri congruente | centrul cercului înscris I |
| Înălțimea | perpendiculara din vârf pe latura opusă | ortocentrul H |
| Mediatoarea | perpendiculara pe mijlocul unei laturi | centrul cercului circumscris O |
În triunghiul isoscel, cele patru linii duse spre bază coincid; în cel echilateral coincid pentru fiecare latură, iar G, I, H, O sunt același punct.
Linia mijlocie
Segmentul care unește mijloacele a două laturi este paralel cu a treia latură și egal cu jumătate din ea — apare constant în problemele de examen.
Problemă rezolvată
În triunghiul isoscel ABC (AB = AC), ∠A = 40°. Aflați unghiurile bazei.
∠B = ∠C (unghiurile bazei). Din ∠A + ∠B + ∠C = 180°: 40° + 2∠B = 180° → ∠B = ∠C = 70°.
Greșeli frecvente
- Mediana merge la mijlocul laturii, înălțimea e perpendiculară — nu sunt același segment (decât în cazurile speciale).
- În triunghiul dreptunghic, ipotenuza este întotdeauna latura cea mai lungă.
- Verifică inegalitatea triunghiului înainte de a „construi" un triunghi din trei lungimi date.