Asemănarea triunghiurilor — teorema lui Thales și cazurile de asemănare

Asemănarea triunghiurilor — lecție completă

Triunghiurile ABC și A′B′C′ sunt asemenea (∆ABC ~ ∆A′B′C′) dacă au unghiurile respectiv congruente și laturile corespunzătoare proporționale:

AB/A′B′ = BC/B′C′ = CA/C′A′ = k (raportul de asemănare)

Teorema lui Thales

O paralelă la o latură a unui triunghi determină pe celelalte două laturi segmente proporționale: dacă în ∆ABC ducem DE ∥ BC (D pe AB, E pe AC), atunci:

AD/DB = AE/EC

Reciproca este criteriu de paralelism: dacă segmentele sunt proporționale, dreapta e paralelă cu latura.

Teorema fundamentală a asemănării

O paralelă la o latură a unui triunghi formează cu celelalte două laturi un triunghi asemenea cu cel dat: DE ∥ BC → ∆ADE ~ ∆ABC, deci AD/AB = AE/AC = DE/BC.

Cazurile de asemănare

Cel mai folosit este UU: găsești două perechi de unghiuri congruente (opuse la vârf, alterne interne, unghi comun) și asemănarea e demonstrată.

Rapoartele derivate

• Raportul perimetrelor = raportul de asemănare k;
• Raportul ariilor = k².

Exemplu: două triunghiuri asemenea cu k = 3 → perimetrele în raport 3, ariile în raport 9.

Problemă rezolvată (umbra — clasică)

Un stâlp aruncă o umbră de 6 m, iar un băț vertical de 1 m aruncă, în același moment, o umbră de 0,8 m. Ce înălțime are stâlpul?

Triunghiurile formate de obiecte și umbre sunt asemenea (razele soarelui sunt paralele): h/1 = 6/0,8 → h = 7,5 m.

Problemă cu teorema fundamentală

În ∆ABC, D pe AB cu AD = 4, DB = 6, iar DE ∥ BC (E pe AC). Dacă BC = 15, aflați DE.

∆ADE ~ ∆ABC cu raportul AD/AB = 4/10 = 2/5. Deci DE = 2/5 × 15 = 6.

Greșeli frecvente

• În Thales, raportul este AD/DB = AE/EC (segment/segment), iar în teorema fundamentală AD/AB (segment/latură întreagă) — nu le amesteca în aceeași proporție.
• Ordinea vârfurilor contează: în ∆ADE ~ ∆ABC, lui D îi corespunde B, lui E îi corespunde C.
• Raportul ariilor este k², nu k.