Rapoarte și proporții — proprietatea fundamentală

Lecție despre rapoarte și proporții: proprietatea fundamentală, aflarea termenului necunoscut, mărimi direct și invers proporționale, regula de trei simplă.

Rapoarte și proporții — lecție completă

Un raport este câtul a două numere: a/b. O proporție este o egalitate de rapoarte:

a/b = c/d — a și d sunt extremii, b și c sunt mezii.

Proprietatea fundamentală

Într-o proporție, produsul extremilor = produsul mezilor:

a/b = c/d ⟺ a × d = b × c

De aici se află termenul necunoscut: fiecare termen = produsul celor doi termeni „pe diagonală", împărțit la termenul opus.

Exemplu: x/6 = 15/9 → x = 6 × 15 : 9 = 10.

Mărimi direct proporționale

Numerele a, b, c sunt direct proporționale cu p, q, r dacă rapoartele sunt egale: a/p = b/q = c/r = k (coeficientul de proporționalitate).

Problemă: Împărțiți 120 de lei în părți direct proporționale cu 2, 3 și 5.

Suma „părților": 2 + 3 + 5 = 10 → o parte = 120 : 10 = 12. Sumele: 2 × 12 = 24, 3 × 12 = 36, 5 × 12 = 60. Verificare: 24 + 36 + 60 = 120. ✓

Mărimi invers proporționale

Numerele a, b, c sunt invers proporționale cu p, q, r dacă produsele sunt egale: a × p = b × q = c × r. (Echivalent: a, b, c sunt direct proporționale cu 1/p, 1/q, 1/r.)

Exemplu clasic: mai mulți muncitori — mai puțin timp: 4 muncitori termină în 6 zile; 8 muncitori (de 2 ori mai mulți) termină în 3 zile (de 2 ori mai puțin).

Regula de trei simplă

Schema pentru mărimi direct proporționale:

3 caiete ............ 12 lei
7 caiete ............ x lei      →  x = 7 × 12 : 3 = 28 lei

Pentru mărimi invers proporționale, înmulțești pe aceeași linie:

4 muncitori ......... 6 zile
8 muncitori ......... x zile     →  x = 4 × 6 : 8 = 3 zile

Înainte de calcul, întreabă-te: „dacă prima mărime crește, a doua crește sau scade?" Crește → direct proporționale (înmulțești în cruce). Scade → invers proporționale (înmulțești pe linie).

Scara unei hărți

Scara este raportul dintre distanța de pe hartă și distanța reală, în aceeași unitate. La scara 1 : 100 000, un centimetru pe hartă = 100 000 cm = 1 km în realitate.

Greșeli frecvente

Aplicarea regulii de trei „direct" la mărimi invers proporționale (muncitori–zile, viteză–timp).
Confundarea mezilor cu extremii la proprietatea fundamentală.
La împărțirea în părți proporționale, uitarea verificării: părțile trebuie să dea împreună totalul.

Întrebări frecvente

Ce este un raport?

Câtul a două numere: a/b (b ≠ 0). Raportul arată de câte ori este mai mare un număr decât altul sau ce parte reprezintă unul din celălalt.

Ce este o proporție?

O egalitate de două rapoarte: a/b = c/d. Numerele a și d se numesc extremi, b și c mezi.

Care este proprietatea fundamentală a proporției?

Produsul extremilor este egal cu produsul mezilor: dacă a/b = c/d, atunci a × d = b × c. Pe ea se bazează aflarea termenului necunoscut.

Ce înseamnă mărimi direct sau invers proporționale?

Direct proporționale: când una crește de n ori, și cealaltă crește de n ori (raport constant). Invers proporționale: când una crește de n ori, cealaltă scade de n ori (produs constant).