Mulțimile — apartenență, incluziune și operații
Lecție despre mulțimi: apartenență și incluziune, reuniune, intersecție și diferență, mulțimile de numere N, Z, Q, R și intervalele de numere reale.
Mulțimile — lecție completă
O mulțime este o colecție de obiecte distincte, numite elemente. Se poate da:
- prin enumerare: A = {2, 4, 6, 8};
- prin proprietate: A = {x ∈ N | x par, x ≤ 8}.
Mulțimea fără niciun element este mulțimea vidă: ∅. Numărul de elemente al unei mulțimi finite A se numește cardinal: card A = 4.
Apartenență și incluziune
- x ∈ A — „x aparține lui A": 4 ∈ {2, 4, 6}, dar 5 ∉ {2, 4, 6}.
- B ⊂ A — „B este inclusă în A": fiecare element al lui B este și în A. {2, 4} ⊂ {2, 4, 6}.
- Două mulțimi sunt egale dacă au exact aceleași elemente — ordinea nu contează: {1, 2} = {2, 1}.
Operațiile cu mulțimi
Fie A = {1, 2, 3, 4} și B = {3, 4, 5}:
| Operația | Definiție | Rezultat |
|---|---|---|
| Reuniunea A ∪ B | elementele din A sau din B | {1, 2, 3, 4, 5} |
| Intersecția A ∩ B | elementele comune | {3, 4} |
| Diferența A \ B | din A, dar nu din B | {1, 2} |
| Diferența B \ A | din B, dar nu din A | {5} |
Dacă A ∩ B = ∅, mulțimile se numesc disjuncte.
Mulțimile de numere
| Mulțimea | Ce conține | Exemple |
|---|---|---|
| N | numerele naturale | 0, 1, 2, 3, … |
| Z | numerele întregi | −3, 0, 7 |
| Q | numerele raționale (fracții de întregi) | −1/2, 0,75, 3 |
| R | numerele reale (Q + iraționalele) | √2, π, −4, 1/3 |
N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R. Numerele din R \ Q (precum √2 și π) sunt iraționale.
Intervalele de numere reale (clasa a VIII-a)
- [a, b] — interval închis: a ≤ x ≤ b (capetele incluse);
- (a, b) — interval deschis: a < x < b (capetele excluse);
- [a, b), (a, b] — semideschise; (a, +∞), (−∞, b] — nemărginite.
Exemplu: soluția inecuației x + 2 ≤ 5 în R este x ≤ 3, adică intervalul (−∞, 3].
Exercițiu rezolvat
Fie A = {x ∈ N | 2 ≤ x < 6}. Enumerați elementele și calculați A ∩ {1, 3, 5, 7}.
A = {2, 3, 4, 5}. Intersecția: elementele comune sunt {3, 5}.
Greșeli frecvente
- ∈ se folosește pentru elemente, ⊂ pentru mulțimi: scrierea {2} ∈ A sau 2 ⊂ A este greșită.
- În reuniune, elementele comune se scriu o singură dată.
- La intervale, rotunjimea/paranteza pătrată arată dacă un capăt intră sau nu — la x < 3, capătul 3 nu intră: (−∞, 3).
Întrebări frecvente
Ce este o mulțime?
O colecție de obiecte distincte, numite elemente. Se notează cu litere mari și se poate descrie prin enumerarea elementelor — A = {1, 2, 3} — sau printr-o proprietate.
Care este diferența dintre ∈ și ⊂?
∈ leagă un element de o mulțime (2 ∈ A), iar ⊂ leagă două mulțimi (B ⊂ A înseamnă că toate elementele lui B sunt și în A).
Ce sunt reuniunea, intersecția și diferența?
A ∪ B = elementele din A sau din B (toate, o singură dată). A ∩ B = elementele comune. A \ B = elementele din A care nu sunt în B.
Ce sunt mulțimile N, Z, Q și R?
N = numerele naturale, Z = numerele întregi, Q = numerele raționale, R = numerele reale (raționale + iraționale). Sunt incluse una în alta: N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R.
Utile pentru școală· din aceeași rețea